Suppose that X is a continuous random variable with probability density function f(x) = { 0 if x < 0 x if x in (0, 1) (3-x)/4 if x in (1, 3) 0 if x > 3 }
(a) Compute q2(X), the population median. (b) Which is greater, q2(X) or EX? Explain your reasoning. (c) Compute P(0.5 < X < 1.5). (d) Compute iqr(X), the population interquartile range.
Es geht ja um Wahrscheinlichkeitsdichten und Verteilungsfunktionen. Generell bekommt man aus einer Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen a und b liegt durch
P(a < X < b)=Integral{a bis b}(f(x) dx)
und wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit muss
P(-Unendlich < X < +Unendlich)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(f(x) dx)=1
sein.
Man kann auch die Verteilungsfunktion F(x) verwenden, die gerade die Wahrscheinlichkeit angibt, dass X einen Wert zwischen -Unendlich und x annimmt:
F(x)=P(-Unendlich < X < x)=Integral{-Unendlich bis x}(f(t) dt)
Wenn man die Wahrscheinlichkeitsdichte erstmal weiß kann man auch Erwartungswerte ausrechnen. Für X: E(X)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(x*f(x) dx) Für X^2: E(X^2)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(x^2*f(x) dx) usw. usf...
(a) q2(x)=1, da die Verteilungsfunktion F(1) dort gerade 0.5 ist:
F(1)=Integral_{-Unendlich bis 1}(f(x) dx)=0.5
(b) Ich nehme mal an EX soll der Erwartungswert (expectation value) sein, den man bekommt, indem man über x*f(x) integriert:
EX=Integral_{-Unendlich bis +Unendlich}(x*f(x) dx)=Integral_{0 bis 1}(x^2 dx)+Integral_{1 bis 3}(x*(3-x)/4 dx)
Da bin ich gerade beim Überschlagen auf 7/6 gekommen, bitte nochmal nachrechnen.
(c) P(0.5 < X < 1.5)=Integral{0.5 bis 1.5}(f(x) dx)=0.59375
(d) Okay, die interquartile range war mir bisher auch nicht bekannt, aber offenbar musst Du nochmal die Verteilung links des Medians nehmen und davon den Median bestimmen, das nennt man first quartile.
Dann das Gleiche mit der Verteilung rechts des Medians und man erhält analog den sog. third quartile
(http://en.wikipedia.org/wiki/Quartile)
Den first quartile q1 würde ich ausrechnen, indem ich annehme, dass links davon 25% der Daten liegen müssen:
F(q1)=Integral_{-Unendlich bis q1}(f(x)dx)=0.25 Wenn man sich unsere Verteilung anguckt, muss das ja irgendwo zwischen 0 und 1 sein: Integral_{0 bis q1}(x dx)=1/2 q1^2 =0.25, also q1=1/Wurzel(2)
Das Gleiche macht man dann für den third quartile, bei dem man q3 (irgendwo zwischen 1 und 3) sucht, für das F(q3)=0.75 gelten muss.
Die interquartile range ist dann der Abstand zwischen den Quartilen q1 und q3.
sehr schön Feigling - klingt ganz gut und logisch. In Wahrscheinlichkeitsrechnung war ich auch mal top. Aber ich hab mir inzwischen wohl alle wichtigen Formeln aus dem Gehirn gesoffen
Feigling schrieb: (d) Okay, die interquartile range war mir bisher auch nicht bekannt, aber offenbar musst Du nochmal die Verteilung links des Medians nehmen und davon den Median bestimmen, das nennt man first quartile.
Dann das Gleiche mit der Verteilung rechts des Medinas und man erhält analog den sog. third quartile
(http://en.wikipedia.org/wiki/Quartile)
Den first quartile q1 würde ich ausrechnen, indem ich annehme, dass links davon 25% der Daten liegen müssen:
F(q1)=Integral_{-Unendlich bis q1}(f(x)dx)=0.25 Wenn man sich unsere Verteilung anguckt, muss das ja irgendwo zwischen 0 und 1 sein: Integral_{0 bis q1}(x dx)=1/2 q1^2 =0.25, also q1=1/Wurzel(2)
Das Gleiche macht man dann für den third quartile, bei dem man q3 (irgendwo zwischen 1 und 3) sucht, für das F(q3)=0.75 gelten muss.
Die interquartile range ist dann der Abstand zwischen den Quartilen q1 und q3.
Völlig richtig, nur eine kleine Ungenauigkei: Wenn ich 1. Quartile bogartze, wird der Tryptopermaneder negativ. Das ist jetzt aber wirklich nur für uns Fachleute...
In this problem you will be asked to examine two equations. Several symbols from each equation will be identified. Your task will be to decide which symbols represent real numbers and which symbols represent functions. If a symbol represents a function, then you should also identify both the domain of the function and the type of labels that it assigns to elements of the domain.
Recall: A function is a rule that assigns labels to objects.
(a) In the equation p = P (Z > 1.96), please identify each of the following symbols as a real number or a function: i. p ii. P iii. Z (b) In the equation sigma^2 = E (X − μ2, please identify each of the following symbols as a real number or a function: i. sigma ii. E iii. X iv. μ
Feigling schrieb: Es geht ja um Wahrscheinlichkeitsdichten und Verteilungsfunktionen. Generell bekommt man aus einer Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen a und b liegt durch
P(a < X < b)=Integral{a bis b}(f(x) dx)
und wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit muss
P(-Unendlich < X < +Unendlich)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(f(x) dx)=1
sein.
Man kann auch die Verteilungsfunktion F(x) verwenden, die gerade die Wahrscheinlichkeit angibt, dass X einen Wert zwischen -Unendlich und x annimmt:
F(x)=P(-Unendlich < X < x)=Integral{-Unendlich bis x}(f(t) dt)
Wenn man die Wahrscheinlichkeitsdichte erstmal weiß kann man auch Erwartungswerte ausrechnen. Für X: E(X)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(x*f(x) dx) Für X^2: E(X^2)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(x^2*f(x) dx) usw. usf...
(a) q2(x)=1, da die Verteilungsfunktion F(1) dort gerade 0.5 ist:
F(1)=Integral_{-Unendlich bis 1}(f(x) dx)=0.5
(b) Ich nehme mal an EX soll der Erwartungswert (expectation value) sein, den man bekommt, indem man über x*f(x) integriert:
EX=Integral_{-Unendlich bis +Unendlich}(x*f(x) dx)=Integral_{0 bis 1}(x^2 dx)+Integral_{1 bis 3}(x*(3-x)/4 dx)
Da bin ich gerade beim Überschlagen auf 7/6 gekommen, bitte nochmal nachrechnen.
(c) P(0.5 < X < 1.5)=Integral{0.5 bis 1.5}(f(x) dx)=0.59375
Vielleicht solltest du auch dazu schreiben, wer es nachrechnen soll
Ach du Sch...! Wenn ich bedenke, dass ich sowas mal rechnen konnte, wird mir ganz schlecht. Wie gut, dass sich Fußball in der Regel im Zahlenraum bis 100 bewegt (Ablösesummen kann man ja getrost in Mio. Euro ausdrücken) und man meist mit Addition und Subtraktion ganz gut hinkommt...
In this problem you will be asked to examine two equations. Several symbols from each equation will be identified. Your task will be to decide which symbols represent real numbers and which symbols represent functions. If a symbol represents a function, then you should also identify both the domain of the function and the type of labels that it assigns to elements of the domain.
Recall: A function is a rule that assigns labels to objects.
(a) In the equation p = P (Z > 1.96), please identify each of the following symbols as a real number or a function: i. p ii. P iii. Z
Okay p ist die Wahrscheinlichkeit und damit eine reelle Zahl zwischen 0 und 1.
P(Z > x) ist so etwas wie die Verteilungsfunktion F(x) in der vorherigen Aufgabe, ergo eine Funktion. F(x) war ja gerade P(Z<=x), also koennten wir uns fuer den Fall hier auch eine Verteilungsfunktion G(x)=1-F(x) basteln, sodass
P(Z > x)=1-P(Z<=x)=1-F(x)=G(x)
eben gerade eine Verteilungsfunktion beschreibt. Der Wertebereich (also alle erlaubten x) ist -Unendlich bis +Unendlich und die Funktion bildet auf Werte zwischen 0 und 1 ab. p ist gerade der Funktionswert an der Stelle 1.96 und deshalb wie oben beschrieben eine reelle Zahl.
Z ist der Wert der Zufallsvariable, also eine Zahl im Wertebereich, den Z annehmen darf.
Gleichung (b) hat's irgendwie geschreddert, das sollte aber analog gehen.
Tube schrieb: Soziologie Absolventen der Uni Mannheim sind auch nicht mehr das, was sie mal waren.
Gruß
Neuer Kontinent, neue (alte) Probleme Aber ich muss zu meiner Ehrenrettung sagen, dass ich das meiste einigermaßen so hatte wie hier gepostet wurde (ich hoffe nur, die nicht geposteten Aufgaben sind auch korrekt). An dieser Stelle meinen herzlichen Dank an alle die versucht haben zu helfen, allen voran Aachener_Adler und Feigling! Werde das Ding jetzt einreichen gehen...
- Zwei Chemiker experimentieren mit zwei verschiedenen Sorten Wachs herum: 12 Stück Wachs von Sorte A und 8 Stück Wachs von Sorte B. - Sie vergleichen den durchschnittlichen Schmelzpunkt der beiden Sorten miteinander. - Sie benutzen Welch's t-Test, um die Nullhypothese zu testen, dass es keinen Unterschied zwischen den durchschnittlichen Schmelzpunkten der beiden Wachssorten gibt. - Die Temperatur wurde in Fahrenheit gemessen, und Chemiker 1 führt den Test dementsprechend durch. - Chemiker 2 dagegen konvertiert jeden Schmelzpunkt zunächst von Fahrenheit in Celsius (Fahrenheit minus 32, dann mal 5/9)
-> Ist es wahr oder falsch, dass beide Chemiker die gleiche Signifikanzwahrscheinlichkeit (also p-Wert) herausbekommen? Warum?
f(x) = {
0 if x < 0
x if x in (0, 1)
(3-x)/4 if x in (1, 3)
0 if x > 3
}
(a) Compute q2(X), the population median.
(b) Which is greater, q2(X) or EX? Explain your reasoning.
(c) Compute P(0.5 < X < 1.5).
(d) Compute iqr(X), the population interquartile range.
Any ideas?
P(a < X < b)=Integral{a bis b}(f(x) dx)
und wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit muss
P(-Unendlich < X < +Unendlich)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(f(x) dx)=1
sein.
Man kann auch die Verteilungsfunktion F(x) verwenden, die gerade die Wahrscheinlichkeit angibt, dass X einen Wert zwischen -Unendlich und x annimmt:
F(x)=P(-Unendlich < X < x)=Integral{-Unendlich bis x}(f(t) dt)
Wenn man die Wahrscheinlichkeitsdichte erstmal weiß kann man auch Erwartungswerte ausrechnen.
Für X:
E(X)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(x*f(x) dx)
Für X^2:
E(X^2)=Integral{-Unendlich bis +Unendlich}(x^2*f(x) dx)
usw. usf...
(a) q2(x)=1, da die Verteilungsfunktion F(1) dort gerade 0.5 ist:
F(1)=Integral_{-Unendlich bis 1}(f(x) dx)=0.5
(b) Ich nehme mal an EX soll der Erwartungswert (expectation value) sein, den man bekommt, indem man über x*f(x) integriert:
EX=Integral_{-Unendlich bis +Unendlich}(x*f(x) dx)=Integral_{0 bis 1}(x^2 dx)+Integral_{1 bis 3}(x*(3-x)/4 dx)
Da bin ich gerade beim Überschlagen auf 7/6 gekommen, bitte nochmal nachrechnen.
(c) P(0.5 < X < 1.5)=Integral{0.5 bis 1.5}(f(x) dx)=0.59375
Dann das Gleiche mit der Verteilung rechts des Medians und man erhält analog den sog. third quartile
(http://en.wikipedia.org/wiki/Quartile)
Den first quartile q1 würde ich ausrechnen, indem ich annehme, dass links davon 25% der Daten liegen müssen:
F(q1)=Integral_{-Unendlich bis q1}(f(x)dx)=0.25
Wenn man sich unsere Verteilung anguckt, muss das ja irgendwo zwischen 0 und 1 sein:
Integral_{0 bis q1}(x dx)=1/2 q1^2 =0.25,
also
q1=1/Wurzel(2)
Das Gleiche macht man dann für den third quartile, bei dem man q3 (irgendwo zwischen 1 und 3) sucht, für das F(q3)=0.75 gelten muss.
Die interquartile range ist dann der Abstand zwischen den Quartilen q1 und q3.
Völlig richtig, nur eine kleine Ungenauigkei: Wenn ich 1. Quartile bogartze, wird der Tryptopermaneder negativ. Das ist jetzt aber wirklich nur für uns Fachleute...
In this problem you will be asked to examine two equations. Several symbols from each equation will be identified. Your task will be to decide which symbols represent real numbers and which symbols represent functions. If a symbol represents a function, then you should also identify both the domain of the function and the type of labels that it assigns to elements of the domain.
Recall: A function is a rule that assigns labels to objects.
(a) In the equation p = P (Z > 1.96), please identify each of the following symbols
as a real number or a function:
i. p
ii. P
iii. Z
(b) In the equation sigma^2 = E (X − μ2, please identify each of the following symbols as
a real number or a function:
i. sigma
ii. E
iii. X
iv. μ
Gruß
Vielleicht solltest du auch dazu schreiben, wer es nachrechnen soll
Gedankengang:
Eine person nur, Wahrscheinlichkeit für 0, 1 oder 2 Mal Kopf:
= 0,7^89 + 07^88*0,3 + 0,7^87*0,3^2 = 2,6E-14
-> Wahrscheinlichkeit dass man mehr als 2 Mal Kopf hat = 1 - 2,6E-14
Wahrscheinlichkeit dass alle 1500 mehr als 2 mal Kopf treffen = (1 - 2,6E-14)^1500
-> Wahrscheinlichkeit dass nicht alle 1500 mehr als 2 Mal Kopf treffen = dass mind. einer max- zweimal Kopf trifft = 1 - (1 - 2,6E-14)^1500
= 3,9E-11
Alle, die sich angesprochen fuehlen
Okay
p ist die Wahrscheinlichkeit und damit eine reelle Zahl zwischen 0 und 1.
P(Z > x) ist so etwas wie die Verteilungsfunktion F(x) in der vorherigen Aufgabe, ergo eine Funktion. F(x) war ja gerade P(Z<=x), also koennten wir uns fuer den Fall hier auch eine Verteilungsfunktion G(x)=1-F(x) basteln, sodass
P(Z > x)=1-P(Z<=x)=1-F(x)=G(x)
eben gerade eine Verteilungsfunktion beschreibt. Der Wertebereich (also alle erlaubten x) ist -Unendlich bis +Unendlich und die Funktion bildet auf Werte zwischen 0 und 1 ab. p ist gerade der Funktionswert an der Stelle 1.96 und deshalb wie oben beschrieben eine reelle Zahl.
Z ist der Wert der Zufallsvariable, also eine Zahl im Wertebereich, den Z annehmen darf.
Gleichung (b) hat's irgendwie geschreddert, das sollte aber analog gehen.
Neuer Kontinent, neue (alte) Probleme
Aber ich muss zu meiner Ehrenrettung sagen, dass ich das meiste einigermaßen so hatte wie hier gepostet wurde (ich hoffe nur, die nicht geposteten Aufgaben sind auch korrekt).
An dieser Stelle meinen herzlichen Dank an alle die versucht haben zu helfen, allen voran Aachener_Adler und Feigling!
Werde das Ding jetzt einreichen gehen...
Also bitte...
Vorausgesetztes Wissen: Welch's t-Test (Alternative für Student t-Test, falls Varianzen unbekannt)
- Zwei Chemiker experimentieren mit zwei verschiedenen Sorten Wachs herum: 12 Stück Wachs von Sorte A und 8 Stück Wachs von Sorte B.
- Sie vergleichen den durchschnittlichen Schmelzpunkt der beiden Sorten miteinander.
- Sie benutzen Welch's t-Test, um die Nullhypothese zu testen, dass es keinen Unterschied zwischen den durchschnittlichen Schmelzpunkten der beiden Wachssorten gibt.
- Die Temperatur wurde in Fahrenheit gemessen, und Chemiker 1 führt den Test dementsprechend durch.
- Chemiker 2 dagegen konvertiert jeden Schmelzpunkt zunächst von Fahrenheit in Celsius (Fahrenheit minus 32, dann mal 5/9)
-> Ist es wahr oder falsch, dass beide Chemiker die gleiche Signifikanzwahrscheinlichkeit (also p-Wert) herausbekommen? Warum?
Bin gespannt...