Kann mir hier mal jemand erklären, wie ich folgende Funktion ableite? (1. und 2. Ableitung)
y(x) = a+be^cx
ist y'(x) = 1+cx*be^(cx-1) ? - ich glaube ich stehe ziemlich auf dem Schlauch
- Lies dir nochmal die Regeln für Summen-, Produkt- und Kettenregel durch. Alle kommen in dieser Aufgabe vor. - a ist eine Konstante, deshalb ergibt ihre Ableitung Null. Warum? Wenn sich x ändert, wie ändert sich dann der Term, der a enthält? Gar nicht! Deswegen verschwindet die Ableitung dieses Summanden. (Also nicht = 1 wie in deiner Lösung. 1 würde da stehen wenn da x statt a stehen würde.) - b ist konstant, wird also einfach mitgeschleppt, hast du richtig gemacht. - bei (cx-1) hast du was verwechselt. Dieses "1 Abziehen" macht man bei sog. ganzrationalen Funktionen wie x, x^2, x^3 usw. Hier gehts aber um die e-Funktion, das is was anderes. - e^cx lässt sich über die Kettenregel ableiten. Stell dir vor da stünde e^z, dann könnte man schreiben f(z) = e^z. Jetzt ist z aber selbst wieder eine Funktion von x, in deinem Fall also z=cx - dann kann man schreiben f(z(x)) = e^z(x) - also f als Funktion von z als Funktion von x.
Gesprochen: Ableitung von f nach x ist dasselbe wie Ableitung von f nach z mal Ableitung von z nach x.
In deinem Fall: Ableitung von e^z nach z ist gerade wieder e^z. Ableitung von z nach x ist gerade c.
Damit ergibt sich y'(x) = b*c*e^cx Die zweite Ableitung dürfte dann nicht so schwer fallen, die funktioniert nach dem selben Prinzip.
- Extrema: Du hast ne Funktion f(x). Die leitest du einmal ab, berechnest also f'(x). Diese Ableitung setzt du gleich Null und löst nach x auf. Warum? An einer Extremstelle ist die Steigung einer Funktion gleich Null. Diese "Nullstelle" der Ableitung entspricht dann gerade der Stelle an dem die Stammfunktion einen Extrempunkt hat. Um zu sehen ob Maxima oder Minima: Zweite Ableitung bilden, x-Wert einsetzen und sehen ob der Wert größer (Minimum) oder kleiner (Maximum) Null ist.
Kann mir hier mal jemand erklären, wie ich folgende Funktion ableite? (1. und 2. Ableitung)
y(x) = a+be^cx
ist y'(x) = 1+cx*be^(cx-1) ? - ich glaube ich stehe ziemlich auf dem Schlauch
- Lies dir nochmal die Regeln für Summen-, Produkt- und Kettenregel durch. Alle kommen in dieser Aufgabe vor. - a ist eine Konstante, deshalb ergibt ihre Ableitung Null. Warum? Wenn sich x ändert, wie ändert sich dann der Term, der a enthält? Gar nicht! Deswegen verschwindet die Ableitung dieses Summanden. (Also nicht = 1 wie in deiner Lösung. 1 würde da stehen wenn da x statt a stehen würde.) - b ist konstant, wird also einfach mitgeschleppt, hast du richtig gemacht. - bei (cx-1) hast du was verwechselt. Dieses "1 Abziehen" macht man bei sog. ganzrationalen Funktionen wie x, x^2, x^3 usw. Hier gehts aber um die e-Funktion, das is was anderes. - e^cx lässt sich über die Kettenregel ableiten. Stell dir vor da stünde e^z, dann könnte man schreiben f(z) = e^z. Jetzt ist z aber selbst wieder eine Funktion von x, in deinem Fall also z=cx - dann kann man schreiben f(z(x)) = e^z(x) - also f als Funktion von z als Funktion von x.
Gesprochen: Ableitung von f nach x ist dasselbe wie Ableitung von f nach z mal Ableitung von z nach x.
In deinem Fall: Ableitung von e^z nach z ist gerade wieder e^z. Ableitung von z nach x ist gerade c.
Damit ergibt sich y'(x) = b*c*e^cx Die zweite Ableitung dürfte dann nicht so schwer fallen, die funktioniert nach dem selben Prinzip.
- Extrema: Du hast ne Funktion f(x). Die leitest du einmal ab, berechnest also f'(x). Diese Ableitung setzt du gleich Null und löst nach x auf. Warum? An einer Extremstelle ist die Steigung einer Funktion gleich Null. Diese "Nullstelle" der Ableitung entspricht dann gerade der Stelle an dem die Stammfunktion einen Extrempunkt hat. Um zu sehen ob Maxima oder Minima: Zweite Ableitung bilden, x-Wert einsetzen und sehen ob der Wert größer (Minimum) oder kleiner (Maximum) Null ist.
Kleiner Nachtrag: Liegt bei der zweiten Ableitung der Wert 0 vor, so müssen weitere Betrachtungen gemacht werden, z.B. wie es in der Umgebung des potenziellen Extrempunkts aussieht. Einfaches Beispiel ist dabei die Funktion f(x)=x^n für n>=3 (sowie n aus den natürlichen Zahlen). Ist n ungerade, so liegt im Punkt 0 kein Extremum vor. Für gerade n nimmt f dagegen in 0 das globale Minimum an.
Kann mir hier mal jemand erklären, wie ich folgende Funktion ableite? (1. und 2. Ableitung)
y(x) = a+be^cx
ist y'(x) = 1+cx*be^(cx-1) ? - ich glaube ich stehe ziemlich auf dem Schlauch
- Lies dir nochmal die Regeln für Summen-, Produkt- und Kettenregel durch. Alle kommen in dieser Aufgabe vor.
- a ist eine Konstante, deshalb ergibt ihre Ableitung Null. Warum? Wenn sich x ändert, wie ändert sich dann der Term, der a enthält? Gar nicht! Deswegen verschwindet die Ableitung dieses Summanden. (Also nicht = 1 wie in deiner Lösung. 1 würde da stehen wenn da x statt a stehen würde.)
- b ist konstant, wird also einfach mitgeschleppt, hast du richtig gemacht.
- bei (cx-1) hast du was verwechselt. Dieses "1 Abziehen" macht man bei sog. ganzrationalen Funktionen wie x, x^2, x^3 usw. Hier gehts aber um die e-Funktion, das is was anderes.
- e^cx lässt sich über die Kettenregel ableiten. Stell dir vor da stünde e^z, dann könnte man schreiben f(z) = e^z. Jetzt ist z aber selbst wieder eine Funktion von x, in deinem Fall also z=cx - dann kann man schreiben f(z(x)) = e^z(x) - also f als Funktion von z als Funktion von x.
Die Kettenregal lautet dann: d/dx f(z(x)) = d/dz f(z(x)) * dz/dx
Gesprochen: Ableitung von f nach x ist dasselbe wie Ableitung von f nach z mal Ableitung von z nach x.
In deinem Fall: Ableitung von e^z nach z ist gerade wieder e^z.
Ableitung von z nach x ist gerade c.
Damit ergibt sich y'(x) = b*c*e^cx
Die zweite Ableitung dürfte dann nicht so schwer fallen, die funktioniert nach dem selben Prinzip.
- Extrema: Du hast ne Funktion f(x). Die leitest du einmal ab, berechnest also f'(x). Diese Ableitung setzt du gleich Null und löst nach x auf. Warum? An einer Extremstelle ist die Steigung einer Funktion gleich Null. Diese "Nullstelle" der Ableitung entspricht dann gerade der Stelle an dem die Stammfunktion einen Extrempunkt hat. Um zu sehen ob Maxima oder Minima: Zweite Ableitung bilden, x-Wert einsetzen und sehen ob der Wert größer (Minimum) oder kleiner (Maximum) Null ist.
Kleiner Nachtrag: Liegt bei der zweiten Ableitung der Wert 0 vor, so müssen weitere Betrachtungen gemacht werden, z.B. wie es in der Umgebung des potenziellen Extrempunkts aussieht. Einfaches Beispiel ist dabei die Funktion f(x)=x^n für n>=3 (sowie n aus den natürlichen Zahlen). Ist n ungerade, so liegt im Punkt 0 kein Extremum vor. Für gerade n nimmt f dagegen in 0 das globale Minimum an.
Ich versteh nicht so ganz, wann ich die Kettenregel und wann ich die Produktregel anwenden muss.
Also Produktregel ist ja:
f(x) = 5x^4 * 3x^2
f'(x) = u'*v + u*v'
u = 5x^4 , u' = 20x^3
v = 3x^2, v' = 6x
also ist f'(x) = 20x^3*3x^2 + 5x^4*6x
Kettenregel:
f(x) = (x^2+2)^3
f'(x) = 3(x+2)^2 + 2x
Was wende ich denn jetzt bei f(x) = x^3* sin(x^2) an?
Ist f'(x) = 3x^2*sin(x^2)+x^3*cos(x^2)2x ?
Oder hab ich mal wieder mein Mathelosergen zur Schau gestellt?
Das stimmt, geht aber auch einfacher, da 5x^4 * 3x^2 = 15 x^6 ist und sich das dann auch ohne Produktregel ableiten lässt.
Müsste glaube ich f(x') = 3(x^2+2)^2 * 2x sein.
Ja! Geht doch!